Publicado el  16 de junio de 2023

Explorando el Conjunto de Números Reales y la clasificación de los números

Josean Paunero

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  1. Los números reales incluyen racionales e irracionales, cubriendo todos los puntos en la recta real.
  2. Cada conjunto numérico tiene propiedades y clasificaciones únicas.
  3. Números irracionales como π representan magnitudes precisas en matemáticas y física.

Los números son una parte fundamental de las matemáticas y de nuestra vida diaria. En matemáticas, existen diferentes tipos de números, cada uno con sus características propias y utilizados para diferentes propósitos. En este artículo, exploraremos el conjunto de números reales, su clasificación y representaciones gráficas, así como algunas de las operaciones que se pueden realizar con ellos.

¿Qué son los números reales?

Conjunto de los números reales

En matemáticas, el conjunto de los números reales se define como aquel conjunto de números que incluye todos los números posibles, ya sea enteros, fraccionarios o irracionales. A diferencia de los números imaginarios, los números reales representan cantidades reales en la vida diaria, como la distancia y la duración.

Clasificación de los números reales

Los números reales pueden clasificarse en diferentes tipos, según sus características:

  • Números enteros: Son aquellos que no tienen parte decimal, por lo que su valor es un número entero positivo o negativo.
  • Números naturales: Son aquellos que solo están formados por números enteros positivos.
  • Números racionales: Son aquellos que se pueden expresar como una fracción, es decir, como el cociente de dos enteros, por ejemplo ¾.
  • Números irracionales: Son aquellos que no se pueden expresar como una fracción, y tienen una expansión decimal infinita que no se repite, como π.

Números racionales e irracionales

Los números racionales y los números irracionales forman parte del conjunto de los números reales. Un número racional puede expresarse como una fracción, y su expansión decimal es periódica o eventualmente periódica. En cambio, un número irracional tiene una expansión decimal que no es periódica.

¿Qué es un número racional?

Definición de números racionales

Los números racionales se definen como aquellos que se pueden expresar como el cociente de dos enteros, donde el denominador no es cero, es decir, cualquier número que pueda expresarse como una fracción. Esto incluye tanto a los números enteros como a los números fraccionarios.

Números enteros y naturales como racionales

Los números enteros y naturales pueden expresarse como racionales, ya que los enteros pueden escribirse como una fracción con denominador igual a uno. Por ejemplo, el número 4 se puede expresar como 4/1, mientras que los naturales pueden expresarse como fracciones con denominador igual a uno. Por ejemplo, el número 3 se puede expresar como una fracción 3/1.

Expansión decimal de números racionales

La expansión decimal de un número racional es un número finito o periódico. Para encontrar la expansión decimal de un número racional, se divide el numerador del número entre el denominador y se obtiene un cociente. Si el cociente es un número finito, la expansión decimal es un número finito. Si el cociente es un número decimal que se repite, entonces la expansión decimal es periódica.

¿Qué es un número irracional?

Definición de números irracionales

Un número irracional es aquel que no se puede expresar como el cociente de dos enteros, es decir, cualquier número cuya expansión decimal no sea periódica ni eventualmente periódica. El número π es un ejemplo de número irracional.

Números que no pueden ser expresados como racionales

Los números que no pueden ser expresados como racionales son números irracionales. Estos números se caracterizan por tener una expansión decimal que no es periódica, es decir, no se puede expresar como una fracción. Algunos de los ejemplos más conocidos de números irracionales son π y la raíz cuadrada de 2.

Ejemplos de números irracionales

Algunos de los ejemplos más comunes de números irracionales son:

  • π (pi)
  • √2 (raíz cuadrada de 2)
  • √3 (raíz cuadrada de 3)
  • √5 (raíz cuadrada de 5)

Clasificación de los números según su tipo

Los números pueden clasificarse en diferentes tipos según su valor. En este apartado se describen los principales tipos de números:

Números enteros

Los números enteros son aquellos números que no tienen parte decimal, es decir, son números enteros positivos o negativos. Por ejemplo, -4, -3, 0, 1, 2, 3, 4.

Números naturales

Los números naturales son aquellos que solo están formados por números enteros positivos. En otras palabras, no incluye el cero ni números negativos. Por ejemplo, 1, 2, 3, 4.

Números racionales

Los números racionales son aquellos que pueden ser expresados como una fracción, por ejemplo, ¾. Esto incluye tanto a los números enteros como a los números fraccionarios.

Números irracionales

Los números irracionales son aquellos que no se pueden expresar como una fracción, y tienen una expansión decimal infinita que no se repite. Esto incluye números como π y la raíz cuadrada de 2.

Representación gráfica de los números reales

La representación gráfica de los números reales se realiza utilizando la recta real, que es una línea recta que se extiende infinitamente en ambas direcciones. La recta real se utiliza para representar cualquier número real, tanto positivo como negativo, y se divide en segmentos. Cada punto en la recta real representa un número real.

Recta real

La recta real es una línea recta que se extiende infinitamente en ambas direcciones. En ella se representan todos los números reales, tanto positivos como negativos.

Representación de dos números reales en la recta real

Para representar dos números reales en la recta real, se ubicará a cada uno de ellos en la recta y se trazará una línea recta que los una. Cada punto de la línea representa un número real.

Periódico y no periódico en la recta real

Los números que tienen una expansión decimal periódica se ubican en la recta real en un punto específico, mientras que los números con una expansión decimal no periódica se ubican en la recta real sin una ubicación específica, siendo representados por una línea o una curva.

Operaciones con números reales

Multiplicación de dos números reales

La multiplicación de dos números reales es una operación que se realiza multiplicando los dos números juntos. El resultado es otro número real.

División de dos números reales

La división de dos números reales es una operación que se realiza dividiendo un número entre otro. El resultado es un número real o un número fraccionario.

Fracciones y números decimales en los números reales

Las fracciones y los números decimales se utilizan para representar